अपने विश्लेषण के लिए, बार्थेलेमी ने शतरंज को एक निर्णय पेड़ के रूप में प्रतिनिधित्व करने के लिए चुना जिसमें प्रत्येक “शाखा” एक जीत, नुकसान या ड्रा की ओर जाता है। खिलाड़ियों को इस सभी जटिलता के बीच सबसे अच्छा कदम खोजने की चुनौती का सामना करना पड़ता है, विशेष रूप से मिडगेम, गेमप्ले को अनुकूल शाखाओं में चलाने के लिए। यहीं से वे महत्वपूर्ण टिपिंग पॉइंट्स खेल में आते हैं। इस तरह के पद स्वाभाविक रूप से अस्थिर हैं, यही वजह है कि एक छोटी सी गलती भी मैच के प्रक्षेपवक्र पर एक नाटकीय प्रभाव डाल सकती है।
कॉम्बिनेटरियल जटिलता का एक मामला
उदाहरण मेहडलिशविलि-वैन फॉरेस्ट से ली गई स्थिति पर।
मार्क बार्थेलेमी, 2025
उदाहरण मेहडलिशविलि-वैन फॉरेस्ट से ली गई स्थिति पर।
मार्क बार्थेलेमी, 2025
इंटरैक्शन ग्राफ पूर्ववर्ती स्थिति में प्रमुख टुकड़े के रूप में व्हाइट नाइट दिखा रहा है।
मार्क बार्थेलेमी, 2025
Barthelemy ने एक शतरंज मैच को उन बलों के एक नेटवर्क के रूप में फिर से कल्पना की है जिसमें टुकड़े नेटवर्क के नोड्स के रूप में कार्य करते हैं, और वे जिस तरह से बातचीत करते हैं, वह किनारों का प्रतिनिधित्व करते हैं, एक इंटरैक्शन ग्राफ का उपयोग करते हुए यह पकड़ने के लिए कि कैसे अलग-अलग टुकड़े हमला करते हैं और एक दूसरे का बचाव करते हैं। सबसे महत्वपूर्ण शतरंज के टुकड़े वे हैं जो किसी दिए गए मैच में कई अन्य टुकड़ों के साथ बातचीत करते हैं, जिसे उन्होंने यह मापते हुए गणना की कि नेटवर्क में सभी नोड जोड़े के बीच सबसे कम पथ पर एक नोड कितनी बार निहित है (इसके “इसके बीच केंद्रीयता”)।
उन्होंने तथाकथित “नाजुकता स्कोर” की भी गणना की, जो इंगित करता है कि बोर्ड से उन महत्वपूर्ण शतरंज के टुकड़ों को हटाना कितना आसान है। और वह इस विश्लेषण को पिछले 200 वर्षों में दुनिया के शीर्ष खिलाड़ियों द्वारा खेले गए 20,000 से अधिक वास्तविक शतरंज मैचों में लागू करने में सक्षम था।
बार्थेलेमी ने पाया कि उनकी मीट्रिक वास्तव में विशिष्ट मैचों में टिपिंग पॉइंट्स की पहचान कर सकती है। इसके अलावा, जब उन्होंने बड़ी संख्या में खेलों पर अपने विश्लेषण का औसतन किया, तो एक अप्रत्याशित सार्वभौमिक पैटर्न उभरा। “हम एक आश्चर्यजनक सार्वभौमिकता का निरीक्षण करते हैं: औसत नाजुकता स्कोर सभी खिलाड़ियों के लिए और सभी उद्घाटन के लिए समान है,” बार्थेलेमी लिखते हैं। और प्रसिद्ध शतरंज मैचों में, “अधिकतम नाजुकता अक्सर निर्णायक क्षणों के साथ मेल खाती है, जो शानदार चालों की विशेषता है जो खेल के संतुलन को निर्णायक रूप से स्थानांतरित करती है।”
विशेष रूप से, गंभीर टिपिंग पॉइंट स्थिति होने से पहले नाजुकता स्कोर लगभग आठ चालों में वृद्धि करना शुरू कर देता है और उसके बाद कुछ 15 चालों के लिए उच्च रहता है। “इन परिणामों से पता चलता है कि स्थितिगत नाजुकता एक सामान्य प्रक्षेपवक्र का अनुसरण करती है, बीच के खेल में तनाव के साथ और एंडगेम की ओर विघटित होता है,” वे लिखते हैं। “यह विश्लेषण शतरंज की जटिल गतिशीलता पर प्रकाश डालता है, जहां हमले और रक्षा के बीच बातचीत खेल की समग्र संरचना को आकार देती है।”
Doi: भौतिक समीक्षा ई, 2025। 10.1103/physreve.00.004300 (Dois के बारे में)।